2.1 Conceitos Básicos de Estatística
Entre os conceitos mais básicos da estatística, estão a média, moda e mediana, de forma direta a explicação de cada uma é dada na sequência
Média - Valor médio
Mediana - O valor central
Moda - O valor que mais se repete
2.1.1 Média
A média como citado anteriormente, é o valor médio de uma sequência de dados, matematicamente isso significa a soma de todos os termos, divido pela quantidade dos termos, como apresentado na equação (2.1)
\[\begin{equation} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \tag{2.1} \end{equation}\]
Para fixar melhor este conceito, vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo 2.1 Dado o seguinte registro da velocidade de 13 carros:
vel = [99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86]
calcular a média desses dados.
Resolução: Para calcular a média, basta sormamos todos os termos e dividirmos pela quantidade de termos, isto é \[ \bar{x} = \frac{1}{13}(99+86+87+111+86+103+87+94+78+77+85+86) = 89.77 \] Portanto, a média das velocidades coletadas é \(\bar{x} = 89.77\)
Outro conceito que usualmente aparece, é o de média ponderada, neste caso é associado um determinado ‘’peso’’ a cada um dos termos da amostra.
2.1.2 Mediana
2.1.3 Moda
2.1.4 Variância
A Variância é um parâmetro que compara o quão distantes estão os valores de determinado grupo de dados com relação a média deste mesmo grupo. A mesma pode ser do tipo Amostral ou Populacional e a diferença fica mais explicita na equação que as definem.
Variância Amostral \[\begin{equation} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n-1}\left[\sum x_i^2 - n \bar{x}^2 \right] \end{equation}\]
Variância Populacional \[\begin{equation} \sigma^2 = \sum_{i=1}^N \frac{(x_i - \bar{\mu})^2}{N} = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{\mu}^2 \end{equation}\]
2.1.4.1 Demonstração das relações de Variância
Seja a variância amostral dada pela relação inicial: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] vamos mostrar que a mesma pode ser escrita como sendo \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 \right] \]
Demonstração. \[\begin{align*} s^2 & = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \\ & = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i^2 -2x_i \bar{x} + \bar{x}^2)}{n-1} \\ & = \frac{1}{n-1} \left(\sum x_i^2 - 2\sum x_i\bar{x} + \sum\bar{x}^2 \right) \\ & = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 - 2\sum x_i \left(\frac{1}{n} \sum x_i \right) + \sum \left(\frac{1}{n} \sum x_i \right)^2 \right] \\ & = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 - \frac{2}{n}\left(\sum x_i \right)^2 + n\left(\frac{1}{n}\right)^2 \left( \sum x_i \right)^2 \right]\\ & = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 - \frac{2n}{n^2}\left(\sum x_i \right)^2 + n\left(\frac{1}{n}\right)^2 \left( \sum x_i \right)^2 \right]\\ & = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 + \frac{1}{n^2}(n-2n) \left( \sum x_i \right)^2 \right]\\ & = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 + \left(\frac{1}{n} \sum x_i \right)^2 (-n) \right]\\ & = \frac{1}{n-1} \left[\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 \right] \end{align*}\]
Para a Variância Populacional segue do resultado anterior
Demonstração. \[\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{\mu})^2}{N} \\ &= \frac{1}{N} \left[\sum x_i^2 - N \bar{\mu}^2 \right] \\ &= \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{\mu}^2 \end{align*}\]
Segue agora alguns exemplos da aplicação da variância.
Os mesmos foram retirados da referência…