5.2 U de Mann Whitney

O teste de U de Mann Whitney, também conhecido como Soma do Posto de Wilcoxon é utilizado na comparação de dois grupos amostrais que tenham preferencialmente o mesmo tamanho.

O método funciona com os seguintes passos:

  1. Coloca-se em ordem crescente todos os dados;
  2. Calcula-se o posto referente a cada um dos valores;
  3. Atribui-se este posto a cada um dos valores na amostra original;
  4. Soma-se o posto de cada uma das duas amostras;
  5. Calcula-se o valor \(U_1\) e \(U_2\), e toma-se \(U = \min(U_1,U_2)\). Define-se as sequintes equações (5.1) e (5.2) para o cálculo de \(U_1\) e \(U_2\):

\[\begin{equation} U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1 \tag{5.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U_2 = n_1 n_2 + \frac{n_2(n_2+1)}{2} - R_2 \tag{5.2} \end{equation}\]

Caso a quantidade de valores coletados seja menor que 20, isto é, a soma de \(n_1\) e \(n_2\) sejam menores que 20, deve ser feito o comparativo do valor de \(U_{calculado}\) com o valor de \(U_{tabelado}\), consultar a tabela Valores Críticos U de Mann-Whitney1.
Se a população for maior que 20, é necessário usar a tabela z-normal; nesta ocasião é efetuado mais um passo, que é o cálculo de z.

  1. O calculo de \(z\) é dado por: \[\begin{equation} z = \frac{U - \mu_R}{\sigma_R} \tag{5.3} \end{equation}\] em que \[ \mu_R = \frac{n_1 \cdot n_2}{2} \hspace{2cm} \sigma_R = \sqrt{\frac{n_1 \cdot n_2(n_1 + n_2 + 1)}{12}} \]

Vamos resolver um exemplo, para que fique mais clara a aplicação do método.

Exemplo 5.1 Na investigação da eficiência de um novo remédio para asma, um grupo de 10 pacientes aleatórios são submetidos ao teste, sendo metade utilizando o novo remédio e a outra parte um placebo. Após uma semana os mesmos são questionados sobre a quantidade de crises que tiveram durante o período, os dados são apresentados na sequência.

Placebo Novo Remédio
7 3
5 6
6 4
4 2
12 1

Tome um nível de \(5\%\) de significancia para o teste e as seguintes hipóteses nula e alternativa
\(H_0\): A duas populações são iguais
\(H_1\): A duas populações não são iguais.

Resolução Vamos tomar como Pl a coluna do Placebo e NR a coluna do Novo Remédio, então \(n_{Pl} = 5\) e \(n_{NR} = 5\); seguindo o passo a passo do método, iremos primeiro colocar todos os dados em ordem crescente, então fazemos:

Passo 1 Colocando todos os dados em ordem crescente

# ordem 1 2 3 4 4 5 6 6 7 12

Passo 2 Deve ser calculado o posto de cada valor; o posto de uma amostra é dado de acordo com a posição na qual os dados de mesmo valor estão localizados na sequência crescente e a quantidade dos mesmos. Por exemplo, na ocasião o primeiro valor repetido é o número 4, o mesmo está localizado na posição 4 e 5 (sendo então duas repetições) da lista ordenada, então o posto do valor 4 será \[ \text{posto}_4 = \frac{4+5}{2} = 4.5 \] o mesmo procedimento é feito para o valor 6, que se encontra na posição 7 e 8, logo: \[ \text{posto}_6 = \frac{7+8}{2} = 7.5 \] os demais valores irão assumir os postos de suas posições, sendo assim:

# ordem 1 2 3 4 4 5 6 6 7 12
# postos 1 2 3 4.5 4.5 6 7.5 7.5 9 10

Passo 3 Agora deve-se atribuir o valor dos postos encontrados, em cada uma das amostras originais

Placebo Posto Pl Novo Remédio Posto NR
7 9 3 3
5 6 6 7.5
6 7.5 4 4.5
4 4.5 2 2
12 10 1 1

Passo 4 Agora somaremos o posto de cada uma das amostras \[ R_{Pl} = 9 + 6 + 7.5 + 4.5 + 10 = 37\\ R_{NR} = 3 + 7.5 + 4.5 + 2 + 1 = 18 \]

Passo 5 Iremos calcular o valor de U, o que segue:

Primeiro \(U_{Pl}\) \[ U_{Pl} = n_{Pl} \cdot n_{NR} + \frac{n_{Pl}(n_{Pl}+1)}{2} - R_{Pl} \hspace{1cm} \therefore \] \[ U_{Pl} = 5 \cdot 5 + \frac{5(5+1)}{2} - 37 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} U_{Pl} = 3 \]

e agora \(U_{NR}\) \[ U_{NR} = n_{Pl} \cdot n_{NR} + \frac{n_{NR}(n_{NR}+1)}{2} - R_{NR} \hspace{1cm} \therefore \]

\[ U_{NR} = 5 \cdot 5 + \frac{5(5+1)}{2} - 18 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} U_{NR} = 22 \] Com ambos os valores calculados, tomaremos o menor, sendo assim \(U = 3\), como a amostra só tem 10 valores, podemos então olhar a tabela de valor critíco U de Mann Whitney, uma parte da mesma é apresentada na figura a seguir

Parte da Tabela de Valores Críticos de U

Figure 5.1: Parte da Tabela de Valores Críticos de U

Como nosso \(n_1 = 5, \ n_2 = 5\) e \(\alpha = 5\%\), temos \(U_{tabelado} = 2\); sendo o U calculado maior que o tabelado, \(2 < 3\), então a hipótese nula é aceita.

OBS: O exercício foi retirado e adaptado do site Mann-Whitney

Para automatizar o problema foi criada uma função em Octave na qual é apresentada na sequência

function testeU_MannWhitney(A,B)

display('Dados fornecidos')
display(A)
display(B)

nA = length(A);   %quantidade de observacoes em A
nB = length(B);   %quantidade de observacoes em B

n = nA+nB;        %quantidade de observacoes totais

C = [A,B];        %vetor auxiliar
C_cres = sort(C); %vetor auxiliar em ordem crescente

%Pesos em A
for k=1:nA
  mA = find(C_cres == A(k));
  pesoA(k) = sum(mA)/length(mA);
end

RA = sum(pesoA);

%Pesos em B
for k=1:nB
  mB = find(C_cres == B(k));
  pesoB(k) = sum(mB)/length(mB);
end

RB = sum(pesoB);

for k=1:nA
  if k == 1
    fprintf('Valor A           rankA\n')
  end
  fprintf('%7.2f     %10.2f\n',A(k),pesoA(k))
  if k==nA
    fprintf('nA = %4.2f     RA = %5.2f\n\n',nA,RA)
  end
end

for k=1:nB
  if k == 1
    fprintf('Valor B           rankB\n')
  end
  fprintf('%7.2f     %10.2f\n',B(k),pesoB(k))
  if k==nB
    fprintf('nB = %4.2f     RB = %5.2f\n\n',nB,RB)
  end
end

%Estatistica para o teste de Mann Whitney
UA = nA*nB + 0.5*(nA*(nA+1))-RA;
UB = nA*nB + 0.5*(nB*(nB+1))-RB;
fprintf('UA = %.2f   UB = %.2f\n',UA,UB)
U = min(UA,UB);

%Para n>20 usa-se a tabela da distribuicao normal
if n>20
  display('Use a Tabela normal')
  mu_r = nA*nB/2;
  sig_r = sqrt((nA*nB)*(nA+nB+1)/12);
  z = (U-mu_r)/sig_r
  
%Para n<=20 usa-se a tabela de Valores Criticos de Mann-Whitney
else
  display('Use a Tabela de Mann-Whitney')
  fprintf('Sendo o valor calculado de U = %.2f\n',U)
end

Para o nosso exemplo então podemos definir Pl = [7 5 6 4 12], NR = [3 6 4 2 1] e usar o comando testeU_MannWhitney(Pl,NR), o resultado obtido é apresentado na sequência

## Dados fornecidos
## A =
## 
##     7    5    6    4   12
## 
## B =
## 
##    3   6   4   2   1
## 
## Valor A           rankA
##    7.00           9.00
##    5.00           6.00
##    6.00           7.50
##    4.00           4.50
##   12.00          10.00
## nA = 5.00     RA = 37.00
## 
## Valor B           rankB
##    3.00           3.00
##    6.00           7.50
##    4.00           4.50
##    2.00           2.00
##    1.00           1.00
## nB = 5.00     RB = 18.00
## 
## UA = 3.00   UB = 22.00
## Use a Tabela de Mann-Whitney
## Sendo o valor calculado de U = 3.00

  1. Tabela de Mann Whitney↩︎