3.2 Distribuições de Probabilidade
São diversos os tipos de distribuições para análise de dados, podendo ser separado em dois grupos, o de distribuições discretas e o de distribuições contínuas; as mesmas ainda apresentam características importantes, são algumas delas:
- Função de Densidade de Probabilidade (PDF)
- Função de Densidade Acumulada (CDF)
- Função Percentil (PPF)
- Esperança e Variância da Distribuição (E(x) e V(x))
Na sequência são apresentadas variás dessas distribuições e suas características, além disso, é disposto implementações em Octave para se obter resultados de estudo. Na próxima seção, é feita uma bateria de exemplos que mostram como aquelas são utilizadas.
3.2.1 Normal
Densidade de Probabilidade
A fórmula geral para a Função Densidade de Probabilidade de uma Distribuição Normal é
\[\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{(2\sigma^2)}} \end{equation}\]
Nos casos em que \(\mu = 0\) e \(\sigma = 1\), temos a chamada função normal padrão, costumeiramente representado por \(N(1,0)\). A equação anterior se reduz a:
\[\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-x^2}{2}} \end{equation}\]
O seguinte gráfico é referente a PDF da normal padrão.
Figure 3.1: Função Densidade de Probabilidade da Normal Padrão
Densidade Acumulada
A fórmula para o cálculo da Função Densidade Acumulada para uma distribuição normal padrão é dado por:
\[\begin{equation} F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-x^2}{2}} \end{equation}\]
O seguinte gráfico representa os valores de CDF para uma distribuição normal padrão:
Figure 3.2: Função Densidade Acumulada da Normal Padrão
Função Percentil
Não existe uma forma fechada de se calcular a função percentil para a distribuição normal; no entanto sua interpretação é que dado um valor de probabilidade \(p\) obtêm-se o valor de \(x\), isto é, ela é a inversa da CDF. No gráfico a seguir é apresentada a PPF da distribuição normal padrão.
Figure 3.3: Função Percentil de Probabilidade da Normal Padrão
3.2.2 Uniforme
Densidade de Probabilidade
A Distribuição Uniforme tem sua Densidade de Probabilidade dada por:
\[\begin{equation} f(x) = \frac{1}{B-A} \hspace{2cm} A \leq x \leq B \end{equation}\]
Em que \(A\) é o parâmetro locação (ou desvio) e \(B-A\) é o parâmetro de escala. O gráfico a seguir mostra o caso em que \(A = 1\) e \(B = 3\).
Figure 3.4: Função Densidade de Probabilidade da Uniforme
Na ocasião em que \(A = 0\) e \(B = 1\), temos a chamada distribuição uniforme padrão, e a equação anterior se reduz a:
\[\begin{equation} f(x) = 1 \hspace{2cm} 0 \leq x \leq 1 \end{equation}\]
O gráfico a seguir mostra a PDF da uniforme padrão.
Figure 3.5: Função Percentil de Probabilidade da Normal Padrão
Densidade Acumulada
A Densidade Acumulada para um distribuição normal padrão, é simplesmente: \[\begin{equation} F(x) = x \hspace{2cm} 0 \leq x \leq 1 \end{equation}\]
O gráfico a seguir apresenta a curva da CDF para a normal padrão.
Função Percentil
A fórmula da Função Percentil para uma distribuição uniforme padrão é bem definida, e é expressa por:
\[\begin{equation} G(p) = p \hspace{2cm} 0 \leq p \leq 1 \end{equation}\]
O gráfico da PPF da uniforme padrão é apresentado a seguir:
3.2.3 T-de-Student
3.2.4 F de Fisher - Snedecor
3.2.5 Qui - Quadrado
3.2.6 Exponencial
3.2.7 Weidbull
3.2.8 Geométrica
3.2.9 Hipergeométrica
3.2.10 Gama
3.2.11 Beta
3.2.12 Bernoulli
3.2.13 Binomial
A Distribuição Binomial é um tipo de distribuição discreta, e uma decorrência dos ensaios de Bernoulli, quando o número de eventos sucesso é maior do que 1.
Densidade de Probabilidade
O cálculo referente a função Densidade de Probabilidade é dado pela função:
\[\begin{equation} f(x;p,n) = \binom{n}{x} (p)^x (1-p)^{n-x} \end{equation}\]
Em que
\(x\) é o número de vezes que o meu sucesso deve ocorrer, na ocasião \(x\) é um número inteiro positivo, isto é, \(x = 0, 1, 2, \cdots\);
\(p\) é a probabilidade do sucesso ocorrer uma única vez;
\(n\) quantidade de eventos avaliados.
Sendo ainda o termo \(\binom{n}{x}\) a Combinação \(C(n,x)\), calculada por:
\[ C(n,x) = \binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \]
Densidade Acumulada
Função Percentil
3.2.14 Binomial - Negativa
3.2.15 Poisson
Densidade de Probabilidade
A Distribuição de Poisson, é um tipo de distribuição discreta que tem como função de probabilidade a seguinte equação
\[\begin{equation} f(x,\lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \end{equation}\]
Em que
\(x\) é o número de ocorrências no estudo em questão, sendo este ainda um número inteiro não negativo, isto é, \(x = 0, 1, 2, \cdots\);
\(\lambda\) é o número esperado (médio) de ocorrências no intervalo de estudo.